Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 0 & 0 & 8 & 0 & 16 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 16 \end{array}]$

Étape 1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 0 & 0 & 8 & 0 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} & \frac{16}{8} & \frac{0}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} & \frac{16}{8} & \frac{0}{8} \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at

1, 3

$1, 3$ a

0

$0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at

1, 3

$1, 3$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 9 & 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 1 & 9 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 + 1 & 9 + 2 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 & 11 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + 2 x_{4} + 11 x_{5} = 0$

$x_{2} - x_{4} - 2 x_{5} = 0$

$x_{3} + 2 x_{5} = 0$

Étape 4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 x_{4} - 11 x_{5} \\ x_{4} + 2 x_{5} \\ - 2 x_{5} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}]$

Étape 5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 11 \\ 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 11 \\ 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{4}, x_{5} \in R}$